В математической логике рассматривают абстракции объектов (их называют термами), высказывания (утверждения, соотношения, суждения) относительно рассматриваемых объектов, правила, позволяющие различать объекты и высказывания, правила построения новых объектов и высказываний.
Объект - это то, что существует вне нас и независимо от нашего сознания и является предметом познания или практического воздействия.
Примеры объектов. Стол, стул, человек, автомобиль, дерево.
Примеры высказываний. Стол круглый. Стул имеет четыре ножки и спинку. Человека зовут Антон. Автомобиль марки Форд. Сухое дерево горит.
В естественном языке высказываниям соответствуют повествовательные предложения или наборы таких предложений, а объектам и их свойствам — словами и словосочетаниями, входящими в состав предложения. Не всякое повествовательное предложение является высказыванием.
Высказывание утверждает или отрицает какой-либо факт, явление, свойство или событие, связанное с рассматриваемым объектом. Если смысл, содержащийся в высказывании, соответствует действительности, то высказывание называют истинным. В противном случае – ложным.
Отметим, что исследование природы объектов, фактов, явлений, свойств или событий не является задачей логики.
Понятия «объект» и «высказывание» считаются в логике первичными, интуитивно ясными и неопределяемыми. Формальное различие между ними состоит в том, что о высказывании имеет смысл говорить, что оно является истинным или ложным. К объектам понятия истинности и ложности неприменимы.
Различные науки могут использовать различные термины и символы для представления высказываний.
Примеры высказываний на естественном языке:
- Луна – спутник Земли (истина).
- Земля – планета Солнечной системы (истина).
- Земля вращается вокруг Солнца (истина).
- Земля имеет форму эллипсоида (истина).
Примеры высказываний в математике:
- Для любого x Sin2x+Cos2x=1 (истина).
- 5+6=11 (истина).
- 2x2=5 (ложь)
Примеры высказываний в химии:
- 2H2+O2=2H2O (истина).
Примеры предложений, не являющихся высказываниями:
- Луна (предложение содержит только объект).
- Планеты Солнечной системы (предложение содержит только объект).
- Банк хороший (предложение содержит только чье-то мнение).
- Который час? (предложение не является повествовательным).
- Будьте здоровы! (предложение не является повествовательным).
У некоторых утверждений, которые мы использовали выше в качестве примеров, есть одно общее свойство. Независимо от их смысла они могут быть либо истинными, либо ложными. Утверждения, обладающие таким свойством, являются высказываниями. Также можно видеть, что по поводу других предложений нельзя сказать то же самое. Поэтому они не могут быть высказыванием.
Бывают утверждения истинность или ложность, которых в принципе проверить можно, но только в принципе, реально же это невозможно. Например, невозможно проверить истинность следующего утверждения: «На планете Земля в настоящее время есть одно и только одно дерево, на котором растет ровно 10000 листьев». Теоретически это проверить можно, но только теоретически, так как для такой проверки придётся использовать слишком большое количество проверяющих, значительно большее, чем проживает на планете людей.
Таким образом, математическая логика изучает только высказывания, и только то, как определять их истинность или ложность. Математическая логика не исследует смысл высказываний, из чего следует, что формулировка высказывания роли не играет и для высказывания достаточно ввести простое обозначение.
Элементарными объектами и высказываниями, называют те из них, которые нельзя разбить на отдельные составные части. Элементарные объекты иначе называются атомами. Элементарному высказыванию соответствует простое предложение.
Сложные (составные) высказывания строятся при помощи союзов «НЕ», «ИЛИ», «И», «ЕСЛИ…, ТО …, ИНАЧЕ…».
Примеры.
- Земля не является планетой
- Земля является планетой и имеет форму эллипсоида.
- Синус или косинус – тригонометрические функции.
- Синус и косинус – тригонометрические функции.
- Автомобиль не поедет, если в баке нет топлива.
В логике объекты и высказывания обычно обозначают строчными (объекты) и прописными (высказывания) знаками (буквами) латинского алфавита, возможно с индексами.
Союзы в логике называют логическими операциями. Обозначения и смысл логических операций будет поясняться в процессе изложения материала.
Используются также вспомогательные знаки (разделители, скобки и т. п.), специальные знаки и, при необходимости, знаки, позволяющие сократить длину высказывания.
При исследовании сложных высказываний понятие «простые высказывания» замещают понятием «пропозициональные переменные».
Истинность или ложность пропозициональной переменной будем отмечать символами «и» – истина или «л» – ложь.
Пример 1.1.
- если A1::= «3 - простое число», то A1 = и,
- если A2::= «3 - вещественное число», то A2 = и,
- если A3::= «3 - целое число», то A3 = и,
- если B1::= «3, 14…- рациональное число», то B1 = л,
- если B2::= «3, 14…- не рациональное число», то B2 = и,
- если C::= «Колумб открыл Америку», то C = и,
- если D::= «Киев - столица Узбекистана», то D = л,
- если E1::= «Число 6 делится на 1, 2 и 3», то E1 = и,
- если Е2::= «Число 6 есть сумма чисел 1, 2, 3», то Е2 = и.
Примечание: символ «::=» означает, что пропозициональная переменная слева есть формальное описание высказывания, стоящего справа, а её значение принадлежит множеству {и, л}.
Переход от высказываний, изложенных на языке предметной области, к изложению высказываний на языке логики называется формализацией.
Рассмотрим формализации подробнее.
Во-первых, фиксируем некоторое (универсальное) множество I объектов, которые нас только и интересует (например, множество планет или множество целых чисел), и затем формулируем некоторое высказывание A, связывающее рассматриваемые объекты с присущими им фактами, явлениями, свойствами или событиями и которым удовлетворяют все элементы рассматриваемого множества и только они.
Во-вторых, из всех объектов рассматриваемого универсального множества I (множества планет, множества чисел и т. д.) образуем множество N таких объектов, которые удовлетворяют содержанию данного высказывания A. Это множество N называется множеством истинности данного высказывания A.
В третьих, будем считать, что имеется первоначальная совокупность некоторых простейших высказываний Pi, называемых элементарными или исходными, о каждом из которых точно известно, истинно оно или ложно. Причем в этой совокупности имеются как истинные высказывания, так и ложные. Введем функцию λ, заданную на множестве этих всех высказываний и принимающую значения в двухэлементном множестве {и, л}, по следующему правилу:
|
{ |
и, |
Если Pi - истина |
λ(Pi)= |
|
|
|
|
л, |
Если Pi - ложь |
Функция λ называется функцией истинности, а значение λ(Pi) — логическим значением или значением истинности высказывания Pi. Для приведенных высказываний имеем логические значения:
λ(A1)= и, λ(A2)= и, λ(A3)= и, λ(B1)= л, λ(B2)= и, λ(C)= и, λ(D)= л, λ(E1)= и, λ(Е2)= и.
Таким образом, мы установили соответствие между множествами и высказываниями, а именно:
- каждое множество описывается некоторым высказыванием (это высказывание может состоять и просто в перечислении элементов множества: «он — Саша, или Сеня, или Миша, или Катя»);
- каждому высказыванию отвечает определенное множество истинности этого высказывания;
- для каждого высказывания можно составить значение истинности.
При этом для любого множества высказываний — даже высказываний, касающихся самых разнородных предметов,— всегда можно указать отвечающее им всем универсальное множество I, содержащее все предметы, о которых идет речь в рассматриваемых высказываниях. Поскольку высказывания интересуют нас только с точки зрения описываемых ими множеств, то два высказывания, A и B, которым отвечает одно и то же множество истинности, мы не будем различать, будем считать одинаковыми (эквивалентными). Если высказывания A и B (например, «он — отличник» и «он имеет только отличные оценки» или «число х нечетно» и «число х при делении 2 дает остаток 1») являются одинаковыми, то мы будем писать A = B.
При этом одинаковыми придется считать все тождественно истинные (или бессодержательные) высказывания (тавтологии), т. е. высказывания, которые являются истинными всегда, независимо от того, какой элемент множества I мы рассматриваем: так, тождественно истинными являются высказывания «2x3=6», «он (ученик твоего класса) — мальчик или девочка», «его (ученика) рост не превосходит 3 м» и т: д. Все истинные высказывания мы условимся обозначать буквой «и». Все математические, физические законы и законы других наук являются тавтологиями.
Одинаковыми мы будем считать и все тождественно ложные (или противоречивые) высказывания, не имеющие места никогда, т. е. высказывания, множество истинности которых пусто. Примерами таких высказываний, которые мы будем обозначать буквой «л», могут служить следующие высказывания: «2x2=6», «он (ученик твоего класса) умеет летать», «его рост превосходит 4 м», «оно (число) больше 3 и меньше 2».
Примеры
1. Имеются высказывания:
- A1::= «логика — забава»
- A2::= «сегодня пятница»
Требуется выразить каждое из следующих составных высказываний в символьной форме.
- B1::= Логика — не забава, и сегодня пятница.
- B2::= Сегодня не пятница, да и логика — не забава.
- B3::= Либо логика — забава, либо сегодня пятница.
Решение:
- B1::= (не A1) и A2.
- B2::= (не A1) и (не A2).
- B3::= A1 или A2.
2. Имеются высказывания:
- A1::= «Луна — спутник Земли»
- A2::= «Луна вращается вокруг Земли»
- A3::= «Земля вращается вокруг Солнца»
Требуется выразить каждое из следующих составных высказываний в символьной форме.
- B1::= Если Луна вращается вокруг Земли, то Луна — спутник Земли.
- B2::= Земля вращается вокруг Солнца, а Луна вращается вокруг Земли.
- B3::= Если Луна — спутник Земли, то Луна вращается вокруг Земли.
Решение:
- B1::= если A2 то A1.
- B2::= A2 и A3.
- B3::= если A1 то A2.
Формы высказываний
Рассмотрим следующие предложения:
- A1::= «Планета Солнечной системы имеет спутник»
- A2::= «Животное покрыто шерстью»
- A3::= «Автомобиль неисправен»
Нельзя оценивать предложения A1, A2, A3, как истинное или ложное, так как они указывают на неопределенные объекты (предметы), возможно, из некоторого множества подобных объектов, причем некоторые из этих объектов могут, а некоторые не могут обладать данным свойством, поэтому неизвестно, к чему относится утверждение или отрицание.
Если подобные предложения указывают на неопределенные объекты (предметы), то такие предложения называют высказывательными формами, а неопределенные объекты (предметы), относящиеся к некоторому множеству объектов, требующие дополнения, относится ли утверждение или отрицание в предложении ко всем или не ко всем объектам (предметам) того множества, называют предметными переменными. Укажем, что в формализованных языках предметные переменные заменяются специальными символами.
Запишем предложения A1, A2, A3, по-другому:
- A11::= «Хотя бы одна планета Солнечной системы имеет спутник»
- A21::= «Все животные покрыты шерстью»
- A31::= «Автомобиль Петрова неисправен»
В каждом из предложений A1, A2, A3 мы выделили предметные переменных и подставили вместо них значения этих предметных переменных:
Предметная переменная |
Значение предметной переменной |
«Планета Солнечной системы» |
«Хотя бы одна планета Солнечной системы»; |
«Животное» |
«Все животные»; |
«Автомобиль» |
«Автомобиль Петрова». |
Теперь видно, что предложения A11, A21, A31 превратились в высказывания, причем предложение A11 выражает частное суждение (истина), предложение A12 выражает множественное — общее суждение (ложь), предложение A13 выражает конкретное суждение (истина).
Повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну предметную переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями, называют высказывательной формой.
Таким образом, приходим к выводу, что предметом логики высказываний (prepositional logic) являются предложения (или фразы) - высказывания, взятые целиком без учета их длины, состава и структуры и утверждающие или отрицающие какой-либо факт, явление или событие.
Задачей логики высказываний является установление истинности или ложности высказываний.
Контрольные вопросы.
- Дайте определение высказывания.
- Дайте определение объекта.
- В чем формальное отличие объекта от высказывания?
- Как представляются объекты и высказывания на естественном языке?
- Приведите примеры высказываний на естественном языке.
- Какие объекты и высказывания называют элементарными?
- Как в логике обозначаются объекты и высказывания?
- Как построить сложное высказывание?
- Как в логике называют союзы?
- Что обозначают пропозициональные переменные?
- Как в логике выполняют формализацию?
- Какие высказывания называют тождественно истинными?
- Какие высказывания называют тождественно ложными?
- Что понимают под множеством истинности данного высказывания?
- Какие высказывания являются одинаковыми (эквивалентными)?
- Какие предложения называют высказывательными формами?
- Какие элементы высказывательных форм называют предметными переменными?
- Как превратить высказывательную форму в высказывание?
- Что составляет предмет логики высказываний?
- Какие задачи относятся к логике высказываний?
Задачи.
- Какие предложения являются высказываниями:
- «Мир прекрасен»
- «Мы - мирные люди»
- «Нас много и мы в тельняшках»
- «Яблоко кислое»
- «Делу время, а потехе час»
- «Наше дело правое, мы победим»
- «О вкусах не спорят»
- «Купила модное платье»
- «Дочь пошла в школу»
- «Лев - хищник, а слон - не хищник»
- «Собаки не кусаются»
- Постройте с помощью союзов «НЕ», «ИЛИ», «И», «ЕСЛИ…, ТО …, ИНАЧЕ…» сложные высказывания.
- «Меня мучит жажда»
- «Мне хочется пить»
- «У меня горло пересохло»
- «Я пойду к колодцу»
- Выполните формализацию высказываний Задачи 1.
- Выполните формализацию высказываний Задачи 2.
- Выполните формализацию сложных высказываний Задачи 1.
- Проверьте, какие из данных высказываний тождественно истинные, а какие тождественно ложные.
- «Все люди честны»
- «Все люди лгуны»
- «Не все люди честны»
- «Не все люди лгуны»
- «2х2=5»
- «Песня слышится и не слышится»
- «Ни жив, ни мертв»
- Приведите примеры тождественно истинных высказываний.
- Приведите примеры тождественно ложных высказываний.
- Приведите примеры двух эквивалентных высказываний.
- Приведите примеры высказывательных форм.
- Преобразуйте высказывательную форму в высказывание.
- «Животные - хищники»
- «Города - миллионники»